Чему равна сумма ряда 1/n

Гармонический ряд - это бесконечный ряд вида 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n, который представляет собой сумму обратных величин натуральных чисел. Этот ряд играет важную роль в математическом анализе и теории чисел.

Основные свойства гармонического ряда

• Ряд является расходящимся - его сумма стремится к бесконечности
• Скорость роста суммы ряда примерно равна ln(n) + γ
• γ (гамма) - постоянная Эйлера-Маскерони (≈0.5772)

Формальное определение

Гармонический ряд H_n определяется как:

H_n = Σ_k=1ⁿ 1/k = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n

Примеры частичных сумм

Доказательство расходимости

Метод группировки слагаемых

1. Группируем члены ряда: 1 + (1/2) + (1/3+1/4) + (1/5+1/6+1/7+1/8) + ...
2. Каждая группа больше 1/2
3. Сумма неограниченно растет с увеличением числа групп

Приближенное вычисление суммы

Для больших n сумма ряда приближается к:

H_n ≈ ln(n) + γ + 1/(2n)

где γ - постоянная Эйлера-Маскерони.

Применение гармонического ряда

• Анализ алгоритмов (оценка времени выполнения)
• Теория вероятностей
• Физика (расчет потенциалов)
• Теория музыки (гармонические колебания)

Интересные факты

Вывод

Хотя частичные суммы гармонического ряда растут очень медленно, сам ряд является расходящимся. Его изучение помогает понять фундаментальные принципы сходимости рядов и имеет многочисленные практические применения в различных областях математики и науки.